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title: 计数杂题
description: 计数杂题-数学应用题-上岸学堂
keywords: 计数杂题,数学应用题,上岸学堂,行测,数量关系
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import BlurredAnswer from '@/components/ui/BlurredAnswer';




# 计数杂题

##  循环周期问题

**例**
某政府机关内甲、乙两部门通过门户网站定期向社会发
布消息，甲部门每隔两天、乙部门每隔3天有一个发布日，节假日无休。问
甲、乙两部门在一个自然月内最多有几天同时为发布日？ 

- A．5  
- B．2  
- C．6  
- D．3

<BlurredAnswer>
解析：甲部门每隔2天相当于每3天发布一次，乙部门每隔3天相当于
每4天发布一次，3和4的最小公倍数是12，则甲、乙每$$3 \times 4 = 12$$天就会同时
发布一次。一个自然月最多有31天，假设甲、乙两部门1号同时发布一次，
该自然月最多还有30天，$$30 \div 12 = 2 ... 6$$还可以同时发布两次。那么一个自然
月最多共有$$2 + 1 = 3$$天是同时发布的。故正确答案为D。
</BlurredAnswer>

##  日期问题

1. 月份天数

- 大月(31天): 1, 3, 5, 7, 8, 10, 12月
- 小月(30天): 4, 6, 9, 11月
- 特殊月: 2月
  - 平年: 28天
  - 闰年: 29天

2. 闰年判断

1. 普通年份能被4整除且不能被100整除的是闰年
2. 世纪年份能被400整除的是闰年

3. 星期判断

- 每7天循环一次
- 可以使用"基姆拉尔森计算公式"快速计算任意日期的星期

**基姆拉尔森计算公式**

基姆拉尔森计算公式是一种快速计算任意日期对应星期的方法。公式如下：

$$w = (d + \lfloor\frac{26(m+1)}{10}\rfloor + y + \lfloor\frac{y}{4}\rfloor + \lfloor\frac{c}{4}\rfloor - 2c) \bmod 7$$

其中：
- $$w$$ 是星期（0-星期日，1-星期一，2-星期二，...，6-星期六）
- $$d$$ 是日期中的日（1-31）
- $$m$$ 是月（3-14，即在公式中，某年的1、2月要看作上一年的13、14月）
- $$y$$ 是年（遇到1、2月时要减1）
- $$c$$ 是年份前两位数
- $$\lfloor \rfloor$$ 表示取整，即舍去小数部分

**使用步骤：**
1. 如果是1或2月，则年份减1，月份加12
2. 将年份的后两位数赋给y，前两位数赋给c
3. 代入公式计算
4. 结果模7后得到的数字即为星期几（0为星期日）

**例题：** 计算2023年5月1日是星期几。

解析：
1. $$d = 1, m = 5, y = 23, c = 20$$
2. 代入公式：
   $$w = (1 + \lfloor\frac{26(5+1)}{10}\rfloor + 23 + \lfloor\frac{23}{4}\rfloor + \lfloor\frac{20}{4}\rfloor - 2*20) \bmod 7$$
   $$= (1 + 15 + 23 + 5 + 5 - 40) \bmod 7$$
   $$= 9 \bmod 7$$
   $$= 2$$
3. 结果为2，表示星期一

因此，2023年5月1日是星期一。

**例**
某政府机关内甲、乙两部门通过门户网站定期向社会发
布消息，甲部门每隔两天、乙部门每隔3天有一个发布日，节假日无休。问
甲、乙两部门在一个自然月内最多有几天同时为发布日？ 

- A．5  
- B．2  
- C．6  
- D．3

<BlurredAnswer>
解析：甲部门每隔2天相当于每3天发布一次，乙部门每隔3天相当于
每4天发布一次，3和4的最小公倍数是12，则甲、乙每$$3 \times 4 = 12$$天就会同时
发布一次。一个自然月最多有31天，假设甲、乙两部门1号同时发布一次，
该自然月最多还有30天，$$30 \div 12 = 2 ... 6$$还可以同时发布两次。那么一个自然
月最多共有$$2 + 1 = 3$$天是同时发布的。故正确答案为D。
</BlurredAnswer>

**例**
根据国务院办公厅部分节假日安排的通知，某年8月份
有22个工作日，那么当年的8月1日可能是： 

- A. 周一或周三 
- B. 周三或周日 
- C. 周一或周四 
- D. 周四或周日 

<BlurredAnswer>
解析：第一步，本题考查星期日期问题，用枚举法解题。 <br/>
第二步，将8月分为前3天（1、2、3日）和后28天（4周），1周有5
个工作日，则4周有4×5=20（个）工作日。由8月有22个工作日可知，1、
2、3日这三天中有2个工作日，可能为周日、周一、周二或周四、周五、周
六，故1号可为周四或周日。 <br/>
因此，选择D选项。
</BlurredAnswer>

## 比赛问题
**例**
某羽毛球赛共有23支队伍报名参赛，赛事安排23支队
伍抽签两两争夺下一轮的出线权，没有抽到对手的队伍轮空，直接进入下一
轮。那么，本次羽毛球赛最后共会遇到多少次轮空的情况？ 

- A. 1 
- B. 2 
- C. 3 
- D. 4 

<BlurredAnswer>
解析：第一步，本题考查比赛问题，用枚举法解题。 <br/>
第二步，两两争夺出线权即为淘汰赛模式。 <br/>
第1轮：23÷2=11组……1支，第一次轮空； <br/>
第2轮：（11＋1）÷2=6组，无轮空； <br/>
第3轮： 6÷2=3组，无轮空； <br/>
第4轮：3÷2=1组……1支，第二次轮空； <br/>
第5轮：（1＋1）÷2=1组，结束。 <br/>
故一共轮空2次。因此，选择B选项。 
</BlurredAnswer>

**例**
某高校学生处要在大一新生中组织篮球比赛，赛制为单
循环形式，即每两个队之间都赛一场，如果学生处计划安排21场比赛，则应
邀请多少支球队参加比赛?

- A．5  
- B．8  
- C．7  
- D．6 

<BlurredAnswer>

**解析**：单循环比赛每两队之间只比赛一场，若安排 21 场比赛需要邀请 $$ n $$ 支球队参加，则列式应为：
$$
C_n^2 = \frac{n \times (n - 1)}{2} = 21
$$
解得 $$ n = 7 $$。故正确答案为 **C**。

</BlurredAnswer>

##  钟表问题 

1. 基本思路

钟表问题本质上是"追及问题"和"比例问题"的变形。我们需要利用钟面上的"路程"、"时间"以及"速度"之间的关系来求解。

2. 关键概念

2.1 角度关系

钟面一圈为360°,我们需要记住以下关键数据:

- **每小时**:
  - 时针走30°
  - 分针走360°
  - 时针与分针相差: 360° - 30° = 330°

- **每分钟**:
  - 时针走0.5°
  - 分针走6°
  - 时针与分针相差: 6° - 0.5° = 5.5°

2.2 速度关系

- **时针**:
  - 每分钟走0.5°
  - 每小时走30°

- **分针**:
  - 速度是时针的12倍
  - 每分钟走6°
  - 每小时走360°

- **时针与分针的速度差**:
  - 每分钟相差5.5°
  - 每小时相差330°

3. 重要公式

3.1 时针与分针夹角计算公式:

   $$\theta = |30h - 5.5m|$$

   其中, $$\theta$$ 为夹角(°), $$h$$ 为小时数(0-11), $$m$$ 为分钟数(0-59)

3.2 时针与分针重合的时间间隔:

   每隔 $$\frac{360°}{5.5°/分钟} \approx 65.45$$ 分钟,时针与分针会重合一次

4. 解题技巧

1. **角度转换**: 注意将题目中给出的时间转换为角度,或将角度转换回时间。

2. **速度差应用**: 利用时针与分针的速度差来解决追及类问题。

3. **周期性**: 钟表问题具有周期性,每12小时循环一次,可以简化计算。

4. **特殊时刻**: 记住一些特殊时刻的夹角,如3:00时夹角为90°,6:00时夹角为180°。


**例题**: 在12小时内,时针与分针重合几次?

**解析**:
1. 利用重合时间间隔公式,我们知道约每65.45分钟重合一次
2. 12小时 = 720分钟
3. 重合次数 = 720 ÷ 65.45 ≈ 11次

因此,在12小时内,时针与分针重合11次。

**例**
从12时到13时，钟的时针与分针可成直角的机会有

- A.1 次               
- C.3 次               
- B.2 次    
- D.4 次

<BlurredAnswer>
解法1：角度、度数差。 <br/>
B。一个小时内成直角只有两次。时刻分别为下图所示： <br/>
第一次90度的时候，即相差90度，又根据时针分针每分钟差5.5°，
90/5.5=16 ，即12点过16分的时候第一次成90度。 <br/>
第二次90度时，270/5.5=49 ，即12点过49分第二次成90度

则钟面上的路程（角度）和速度（角速度）有如下关系： 
1.一圈按“小时”分12大格 
时针：每小时走1格，每分钟走1/60格， 
分针：每小时走12格，每分钟走1/5格， 
时针分针每小时差11格，每分钟差11/60格 
（1）每小时：时针1大格，分针12大格，相差12-1=11大格 
时针每小时走1大格，分针每小时走12大格，它们每小时相差12-1=11
大格，  
（2）每分钟：分针比时针多走11/60大格 
2.一圈按“分钟”分60小格 
时针：每分钟走1/12格，每小时走5格， 
分针：每分钟走1格，每小时走60格， 
时针分针每分钟差11/12格，每小时差55格 
（1）每小时：时针5小格，分针60小格，相差60-5=55小格 
时针每小时走5小格，分针每小时走60小格，它们每小时相差60-5=55
小格， 
（2）每分钟：每分钟分针比时针多走11/12小格 
记角度划分的数值即可，12大格的数值直接用角度的除以30，60小格用
角度的除以6  
</BlurredAnswer>

**例**
钟表有一个时针和一个分针，分针每一小时转360度，
则24小时内时针和分针成直角共有多少次?  

- A.28           
- C.44           
- B.36       
- D.48

<BlurredAnswer>
一圈按“分钟”分60小格 
时针：每分钟走1/12格，每小时走5格， 
分针：每分钟走1格，每小时走60格， 
时针分针每分钟差11/12格，每小时差55格 
（1）每小时：时针5小格，分针60小格，相差60-5=55小格 
时针每小时走5小格，分针每小时走60小格，它们每小时相差60-5=55
小格， 
（2）每分钟：每分钟分针比时针多走11/12小格 
记角度划分的数值即可，12大格的数值直接用角度的除以30，60小格用
角度的除以6  
三、时针分针成直角★ 
一个小时内有两次，3点、9点、15点、21点特殊，只有一次垂直，所
以24小时有2×24-4=44次 
（一）1个小时内有两次 
（二）3点、9点、15点、21点特殊，只有一次垂直 
（三）所以24小时有2×24-4=44次 
</BlurredAnswer>

## 数列问题


1. 通项公式：
$$
a_n = a_1 + (n - 1) \times d
$$
$$
a_n = a_m + (n - m) \times d
$$

2. 求和公式：
$$
S_n = \frac{n \times (a_1 + a_n)}{2}
$$
$$
S_n = n \times a_1 + \frac{n \times (n - 1) \times d}{2}
$$
$$
S_n = n \times a_n - \frac{n \times (n - 1) \times d}{2}
$$


1. 等差数列通项公式：
   $$
   a_n = a_1 + (n - 1) \times d
   $$

等差数列通项公式（重复）：
$$
a_n = a_1 + (n - 1) \times d
$$

通项公式（重复）：
$$
a_n = a_1 + (n - 1) \times d
$$
$$
a_n = a_m + (n - m) \times d
$$



1. **等差数列通项公式**：
   $$
   a_n = a_1 + (n - 1) \times d
   $$
   等差数列通项公式（重复）：
   $$
   a_n = a_1 + (n - 1) \times d
   $$
   通项公式：
   $$
   a_n = a_1 + (n - 1) \times d
   $$
   $$
   a_n = a_m + (n - m) \times d
   $$


2. **等差数列求和公式**：
   $$
   S_n = \frac{(a_1 + a_n)}{2} \times n = \frac{n \times (a_1 + a_n)}{2}
   $$
   
   前 $$ n $$ 项和公式为：
   $$
   S_n = a_1 \times n + \frac{n \times (n - 1) \times d}{2}
   $$
   以上 $$ n $$ 均属于**正整数**。

   求和公式：
   $$
   S_n = n \times a_1 + \frac{n \times (n - 1) \times d}{2}
   $$
   $$
   S_n = n \times a_n - \frac{n \times (n - 1) \times d}{2}
   $$


| **类别**      | **等差数列**                             | **等比数列**                               |
|---------------|------------------------------------------|--------------------------------------------|
| **定义**      | $$ a_{n+1} - a_n = d $$                  | $$ \frac{a_{n+1}}{a_n} = q $$              |
| **通项公式**  | $$ a_{n+1} = a_n + d $$                  | $$ a_{n+1} = a_n q $$                      |
|               | $$ a_n = a_m + (n - m) d $$              | $$ a_n = a_m q^{n - m} $$                  |
| **性质**      | $$ m + n = r + s $$                      | $$ a_m a_n = a_r a_s $$                    |
|               | $$ a_m + a_n = a_r + a_s $$              |                                            |
| **求和公式**  | $$ S_n = \frac{n (a_1 + a_n)}{2} $$      |                                            |
|               | $$ S_n = n a_1 + \frac{n(n - 1)}{2} d $$ |                                            |

## 页码问题

1. 页码数加减（等差求和公式的运用）

页码为等差数列，页码和：
$$
S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \times n = \frac{1 + n}{2} \times n \approx \frac{n^2}{2}
$$
书本页码一般从第一页计算，第 $$ n $$ 页对应 $$ n $$。

页码和：
$$
S = \left[ \frac{(a_1 + a_n)}{2} \right] \times n = \frac{(1 + n)}{2} \times n \approx \frac{n^2}{2}
$$

**例**
一本100多页的书，被人撕掉了4张，剩下的页码总和
为8037，则该书最多有多少页？

- A. 134 
- B. 136 
- C. 138 
- D. 140

<BlurredAnswer>

解析：（1）纸张页码，正面奇数，反面偶数（如第一张纸，正面是第1
页，反面是第2页），1张纸页码和为奇数，4张纸页码和为偶（4个奇数和
为偶），剩余页码和8037为奇，则原来页码和为奇（奇＋偶=奇）

</BlurredAnswer>

2. 页码字符数：

即字符个数，6 页有 1 个字符（6），16 页有 2 个（1、6），115 页有 3 个（1、1、5）。

1. 第 1 页—第 9 页，字符数：9 个。
2. 第 10 页—第 99 页，字符数有：$$ 90 \times 2 = 180 $$ 个。
3. 第 100 页—第 999 页，字符数有：$$ 900 \times 3 = 2700 $$ 个。
4. 第 1000 页—第 9999 页，字符数有：$$ 9000 \times 4 = 36000 $$ 个。

依次类推。

3. 三位数页码：

1. **字符数** = (页码数 - 36) $$ \times 3 $$
2. **页码数** = (字符数 $$ \div 3 $$) + 36

$$
\text{页码数} = \frac{\text{字符数}}{3} + 36
$$

例：  
$$
189 < \text{字符数} < 2889
$$
（通常情况下不会考千位数书本页数）


**例**
编编一本书的书页，用了270个数字（重复的也算，如页
码115用了2个1和1个5共3个数字），问这本书一共多少页？ 

- A. 117 
- B. 126 
- C. 127 
- D. 189 

<BlurredAnswer>
解析：

**方法 1：**

1. **一位数页码**：1~9 页，共 9 × 1 = 9 个数字；
**两位数**：10~99，共 90 × 2 = 180 个数字。剩 270 - 9 - 180 = 81 个数只能为三位数页。

2. 81 个数可编三位数：
$$
\frac{81}{3} = 27 \text{页}
$$
即 100~126 共 126 页。**B**。

**拓展**：一定要注意三位数页码从 100 开始，非 101 开始，否则易错选 C，正确答案应比干扰项小 1。


**方法 2：**

**三位数页码公式法**：
$$
\text{页码数} = \frac{\text{字符数}}{3} + 36 = \frac{270}{3} + 36 = 90 + 36 = 126
$$

</BlurredAnswer>


**例**
一本数学辅导书共有200页，编上页码后。问数字“1”
在页码中出现了多少次？ 

- A. 100 
- B. 121 
- C. 130 
- D. 140 

<BlurredAnswer>
解析：分别计算出现在各个数位上的“1”的次数。 <br/>
个位是1：百位可取0或1，十位可取0~9，出现10×2=20（次）； <br/>
十位是1：百位可取0或1，个位可取0~9，出现10×2=20（次）； <br/>
百位是1：十位和个位均可取0~9，出现10×10=100（次）。 
故“1”共出现20＋20＋100=140（次）。D。 
</BlurredAnswer>